Question

如圖，PA為⊙0的切線，A為切點，過A作O的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B．
求證：PB為⊙0的切線．

Answer 1

證明：連接OA，OB，
∵AB⊥OP，
∴C為AB的中點，即AC=BC=AB，
∵在Rt△OBC和Rt△OAC中，
，
∴Rt△OBC≌Rt△OAC（HL），
∴∠BOC=∠AOC，
∵在△OBP和△OAP中，
，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP，
∵AP為圓O的切線，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即OB⊥BP，
則BP為圓O的切線．
分析：連接OA，OB，由AB與OP垂直，利用垂徑定理得到C為AB的中點，得到AC=BC，再由OB=OA，利用HL得到兩直角三角形全等，利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，再由OB=OA，OP為公共邊，利用SAS得到三角形BOP與三角形AOP全等，由全等三角形的對應角相等得到∠OAP=∠OBP，由PA與圓O相切，利用切線的性質得到∠OAP為直角，可得出∠OBP為直角，即OB垂直于BP，進而確定出BP為圓O的切線．
點評：此題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及垂徑定理，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．