Question

（2012•錦江區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），點P是AB邊上的任意一點（不與A、B重合），連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：首先假設當m=10時，存在點P使得點Q與點C重合，易證得△PBC∽△DAP，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得此時AP的長．

解答：解：假設當m=10時，存在點P使得點Q與點C重合（如下圖），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠A=90°，
∵PQ⊥PD，
∴∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
又∵∠ADP+∠APD=90°，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△PBC∽△DAP，
∴

PB

DA

=

BC

AP

，
∴

10-AP

4

=

4

AP

，
∴AP=2或8，
∴存在點P使得點Q與點C重合，此時AP的長2或8．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質與矩形的性質．此題難度適中，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．