Question

如圖，點(diǎn)A（3，m），B（-2，n）在反比例函數(shù)y=的圖象上，直線y=kx經(jīng)過點(diǎn)C（-2，2），點(diǎn)P是直線y=kx上任意一點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和直線y=kx的解析式；
（2）求證：△PAC≌△PBC；
（3）若點(diǎn)Q（0，6），當(dāng)△APQ周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵A（3，m），B（-2，n）在雙曲線y=上，
∴A（3，2），B（-2，-3），
∵直線y=kx經(jīng)過C（-2，2），
∴y=-x，

（2）設(shè)AC與y軸相交于點(diǎn)D，則CD⊥OD，且CD=OD，
∴∠OCD=45°，同理∠BCO=45°，
∴∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠ACP=∠BCP=135°，
又∵CP=CP，AC=BC=5，
∴△ACP≌△BCP（SAS）；

（3）∵C_△APQ=PA+PQ+AQ=PB+PQ+AQ，
∴當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，△APQ的周長最小，
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，把B（-2，-3）、Q（0，6）代入，
，
∴y=x+6，
聯(lián)立方程，
得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，）．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A（3，m），B（-2，n）在反比例函數(shù)y=的圖象上即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由直線y=kx經(jīng)過C（-2，2），即可求出y=kx的解析式；
（2）設(shè)AC與y軸相交于點(diǎn)D，則CD⊥OD，且CD=OD，再證明∠ACP=∠BCP=135°，結(jié)合CP=CP，AC=BC=5即可求出兩三角形全等；
（3）當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，△APQ的周長最小，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，把B（-2，-3）、Q（0，6）代入，求出解析式，聯(lián)立兩解析式，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及全等三角形性質(zhì)等知識(shí)，此題難度不大，但是此類型的試題是中考的重點(diǎn)，希望同學(xué)們注意．