Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O。

（1）如圖1，連接AF、CE，求AF的長；
（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止，在運動過程中，
①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值。
②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關系式。

Answer 1

解：（1），則 在中， 由勾股定理得， 解得 ∴。 （2）①顯然當點P在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形 同理點P在AB上時，Q點在DE或CE上，也不能構成平行四邊形 因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形 ∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時， ∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒 ∴， ∴ 解得 ∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，秒。 ②由題意得，以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上 分三種情況：
i）如圖1，當P點在AF上、Q點在CE上時，，即，得；
ii）如圖2，當P點在BF上、Q點在DE上時，， 即，得
iii）如圖3，當P點在AB上、Q點在CD上時，，即，得。 綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關系式是。