Question

11．閱讀理解：
我們把滿足某種條件的所有點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．
例如：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的軌跡．
問題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線，M是邊BC上一動點，連接AM交EF于點P，那么動點P為線段AM中點．
理由：∵線段EF為△ABC的中位線，∴EF∥BC，
由平行線分線段成比例得：動點P為線段AM中點．
由此你得到動點P的運動軌跡是：線段EF．
知識應(yīng)用：
如圖2，已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動點，連結(jié)EF；若AF=BE，且等邊△ABC的邊長為8，求線段EF中點Q的運動軌跡的長．
拓展提高：
如圖3，P為線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），在線段AB的同側(cè)分別作等邊△APC和等邊△PBD，連結(jié)AD、BC，交點為Q．
（1）求∠AQB的度數(shù)；
（2）若AB=6，求動點Q運動軌跡的長．

Answer 1

分析 閱讀理解：根據(jù)軌跡的定義可知，動點P的運動軌跡是線段EF．
知識應(yīng)用：如圖1中，作△ABC的中位線MN，作EG∥AC交NM的延長線于G，EF與MN交于點Q′，△GQ′E≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解決問題．
拓展提高：如圖2中，（1）只要證明△APD≌△CPB，推出∠DQG=∠BPG=60°結(jié)論解決問題．（2）由（1）可知點P的運動軌跡是$\widehat{AB}$，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點M，連接AM，BM，則∠M=60°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH=$\sqrt{3}$，OB=2$\sqrt{3}$，利用弧長公式即可解決．

解答 閱讀理解：根據(jù)軌跡的定義可知，動點P的運動軌跡是線段EF．
故答案為線段EF．

知識應(yīng)用：如圖1中，作△ABC的中位線MN，作EG∥AC交NM的延長線于G，EF與MN交于點Q′

∵△ABC是等邊三角形，MN是中位線，
∴AM=BM=AN=CN，
∵AF=BE，
∴EM=FN，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，
∵∠A=∠GEM=60°，
∴△GEM是等邊三角形，
∴EM=EG=FN，
在△GQ′E和△NQ′F中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GQ′E=∠NQ′F}\\{∠G=∠FNQ′}\\{GE=FN}\end{array}\right.$，
∴△GQ′E≌△NQ′F，
∴EQ′=FQ′，
∵EQ=QF，
′點Q、Q′重合，
∴點Q在線段MN上，
∴段EF中點Q的運動軌跡是線段MN，
MN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4．
∴線段EF中點Q的運動軌跡的長為4．

拓展提高：如圖2中，

（1）∵△APC，△PBD都是等邊三角形，
∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD和△CPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=PC}\\{∠APD=∠CPB}\\{DP=BP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPB，
∴∠ADP=∠CBP，設(shè)BC與PD交于點G，
∵∠QGD=∠PGB，
∴∠DQG=∠BPG=60°，
∴∠AQB=180°-∠DQG=120°
（2）由（1）可知∠AQB=120°是定值，
所以點Q的運動軌跡是$\widehat{AB}$，設(shè)弧AB所在圓的圓心為O，在圓上任意取一點M，連接AM，BM，
則∠M=60°，
∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH=$\sqrt{3}$，OB=2$\sqrt{3}$，
∴弧AB的長=$\frac{120°×π×2\sqrt{3}}{180°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π．
∴動點Q運動軌跡的長$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解軌跡的意義，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會探究找到軌跡的方法，屬于中考壓軸題．