Question

如圖，AB是⊙0的直徑，C是⊙0上的一點(diǎn)，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)MN的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)D，且∠BAC=∠DAC．
（1）猜想直線(xiàn)MN與⊙0的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若CD=6，cos∠ACD=，求⊙0的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可；
（2）求出AD、AB長(zhǎng)，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長(zhǎng)即可．
解答：解：（1）直線(xiàn)MN與⊙0的位置關(guān)系是相切，
理由是：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAB=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵OC為半徑，
∴MN是⊙O切線(xiàn)；

（2）∵CD=6，cos∠ACD==，
∴AC=10，由勾股定理得：AD=8，
∵AB是⊙O直徑，AD⊥MN，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴AB=12.5，
∴⊙O半徑是×12.5=6.25．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．