Question

如圖，拋物線y=x²-x-與直線y=x-2交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），動點P從A點出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對稱軸上的某點E，再到達(dá)x軸上的某點F，最后運動到點B．若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)題意求得點A與B的坐標(biāo)，求得拋物線的對稱軸，然后作點A關(guān)于拋物線的對稱軸x=的對稱點A′，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=的交點是E，與x軸的交點是F，而且易得A′B′即是所求的長度．
解答：解：如圖
∵拋物線y=x²-x-與直線y=x-2交于A、B兩點，
∴x²-x-=x-2，
解得：x=1或x=，
當(dāng)x=1時，y=x-2=-1，
當(dāng)x=時，y=x-2=-，
∴點A的坐標(biāo)為（，-），點B的坐標(biāo)為（1，-1），
∵拋物線對稱軸方程為：x=-=
作點A關(guān)于拋物線的對稱軸x=的對稱點A′，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，
連接A′B′，
則直線A′B′與對稱軸（直線x=）的交點是E，與x軸的交點是F，
∴BF=B′F，AE=A′E，
∴點P運動的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，
延長BB′，AA′相交于C，
∴A′C=++（1-）=1，B′C=1+=，
∴A′B′==．
∴點P運動的總路徑的長為．
故選A．
點評：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．注意找到點P運動的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．