Question

9．如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上點，若AE=1，EM+CM的最小值為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 要求EM+CM的最小值，需考慮通過作輔助線轉化EM，CM的值，從而找出其最小值求解．

解答 解：連接BE，與AD交于點M．則BE就是EM+CM的最小值，
過B作BN⊥AC于N，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC，
∵等邊△ABC的邊長為4，
∴AC=4，∵AE=1，
∴NE=1，BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{B{N}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴EM+CM的最小值為$\sqrt{13}$，
故答案為：$\sqrt{13}$．

點評 此題主要考查了等邊三角形的性質和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用．得出M點位置是解題關鍵．