Question

如圖，等邊△ABC的邊長為10，點P是邊AB的中點，Q為BC延長線上一點，CQ：BC=1：2，過P作PE⊥AC于E，連PQ交AC邊于D，求DE的長？

Answer 1

解：過P點作PF∥BC交AC于F點，
∵等邊△ABC的邊長為10，點P是邊AB的中點，CQ：BC=1：2，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴AP=CQ，
∵PF∥AB，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠A=∠APF=∠AFP=60°，
∴△APF是等邊三角形，
∵PE⊥AC，
∴EF=AF，
∵△APF是等邊三角形，AP=CQ，
∴PF=CQ
∵PF∥AB，
∴∠Q=∠FPD，
在△PDF和△QDC中
∵，
∴△PDF≌△QDC，
∴DF=CD，
∴DF=CF，
∴DE=EF+DF=AF+CF=AC，
∴ED=5．
分析：過P點作PF∥BC交AC于F點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定求出△APF是等邊三角形，推出AP=AF=PF=CQ，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AE=EF，根據(jù)AAS證△PFD和△QCD全等，求出FD=CD，推出DE=AC，代入求出即可．
點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，是一道比較好的題目．