Question

6．如圖，⊙O的半徑為1cm，弦CD的長(zhǎng)度1cm，弦AC、BD所夾的銳角α為75°，則弦AB的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先證明△ODC是等邊三角形，得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠DOC=30°，根據(jù)α=∠DBC+∠ACB，得到∠ACB=75°-30°=45°，所以∠AOB=2∠ACB=90°，在RT△AOB中利用勾股定理即可求出AB．

解答 解：如圖，連接OA、OB、OC、OD、BC．
∵OD=OC=CD=1，
∴∠DOC=60°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠DOC=30°，
∵α=∠DBC+∠ACB，
∴∠ACB=75°-30°=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
在RT△AOB中，∵OA=OB=1，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)等邊三角形這個(gè)突破口，充分利用特殊三角形解決問(wèn)題．