Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，，若為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直．則稱(chēng)該矩形為點(diǎn)的相關(guān)矩形"．下圖為點(diǎn)的“相關(guān)矩形”的示意圖．

已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．

若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的“相關(guān)矩形”的周長(zhǎng)；

點(diǎn)在直線(xiàn)上，若點(diǎn)的“相關(guān)矩形”為正方形，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，求拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；

的半徑為，點(diǎn)是直線(xiàn)上的從左向右的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若在上存在一點(diǎn)使得點(diǎn)的“相關(guān)矩形”為正方形，直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①12；②（0，2）或（0，4）；（2）4-3≤m≤4+3或-4-3≤m≤4-3.

【解析】

（1）①由相關(guān)矩形的定義可知：要求A與B的相關(guān)矩形周長(zhǎng)，則AB必為對(duì)角線(xiàn)，利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出該矩形的長(zhǎng)與寬，進(jìn)而可求出該矩形的周長(zhǎng)；
②由定義可知，AC必為正方形的對(duì)角線(xiàn)，所以AC與x軸的夾角必為45，設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再將A（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出拋物線(xiàn)的表達(dá)式即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由定義可知，EF必為相關(guān)矩形的對(duì)角線(xiàn)，若該相關(guān)矩形的為正方形，即直線(xiàn)EF與x軸的夾角為45°，由因?yàn)辄c(diǎn)F在圓O上，所以該直線(xiàn)EF與圓O一定要有交點(diǎn)，由此可以求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的范圍．

解：（1）①∵A（1，0），B（2，5）
由定義可知：點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的長(zhǎng)與寬分別為5和1，
∴點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的周長(zhǎng)為2×（5+1）=12；
②由定義可知：AC是點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”的對(duì)角線(xiàn)，
又∵點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形
∴直線(xiàn)AC與x軸的夾角為45°，
設(shè)直線(xiàn)AC的解析為：y=x+m或y=-x+n
把（1，0）代入y=x+m，
∴m=-1，
∴直線(xiàn)AC的解析為：y=x-1，
把（1，0）代入y=-x+n，
∴n=1，
∴y=-x+1，
∴直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y=x-1或y=-x+1，

∵點(diǎn)C在直線(xiàn)x=3上，代入，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）或（3，-2），

當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，2）時(shí)，A（1，0），代入中，

，

解得，

∴拋物線(xiàn)表達(dá)式為：，

與y軸交點(diǎn)為（0，2）；

當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，-2）時(shí)，A（1，0），代入中，

，

解得，

∴拋物線(xiàn)表達(dá)式為：，

與y軸交點(diǎn)為（0，4）；

∴拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）或（0，4）；
（2）設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)E，F的“相關(guān)矩形”為正方形，
∴由定義可知：直線(xiàn)EF與x軸的夾角為45°，
∴k=±1，
∵點(diǎn)F在⊙O上，
∴當(dāng)直線(xiàn)EF與⊙O有交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E，F的“相關(guān)矩形”為正方形，
當(dāng)k=1時(shí)，
作⊙O的切線(xiàn)AD和BC，且與直線(xiàn)EF平行，
其中A、C為⊙O的切點(diǎn)，直線(xiàn)AD與y軸交于點(diǎn)D，直線(xiàn)BC與y軸交于點(diǎn)B，
連接OA，OC，

設(shè)點(diǎn)E（m，3），把E代入y=x+b，
∴b=3-m，
∴直線(xiàn)EF的解析式為：y=x+3-m，
∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，OA=4，
∴OD=4，
∴D（0，4），
同理可得：B（0，-4），
∴令x=0代入y=x+3-m，
∴y=3-m，
∴-4≤3-m≤4，
∴4-3≤m≤4+3，
當(dāng)k=-1時(shí)，把E（m，3）代入y=-x+b，
∴b=3+m，
∴直線(xiàn)MN的解析式為：y=-x+3+m，
同理可得：-4≤3+m≤4，
∴-4-3≤m≤4-3；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E，F的“相關(guān)矩形”為正方形時(shí)，點(diǎn)E橫坐標(biāo)取值范圍是：4-3≤m≤4+3或-4-3≤m≤4-3.