Question

如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．
（1）求證：CM=CN；
（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求的值．

Answer 1

（1）證明：由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；

（2）解：過點N作NH⊥BC于點H，
則四邊形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，
∴===3，
∴MC=3ND=3HC，
∴MH=2HC，
設DN=x，則HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC==2x，
∴HN=2x，
在Rt△MNH中，MN==2x，
∴==2．
分析：（1）由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；
（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得答案．
點評：此題考查了矩形的性質、折疊的性質、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．