Question

如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE翻折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．
（1）求證：△ABG≌△AFG；
（2）求證：BG=GC；
（3）求△CFG的面積．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DC=6，∠B=∠D=90°，
∵將△ADE對折得到△AFE，
∴AF=AD，∠AFE=90°，
∴∠AFG=90°=∠B，
又∵AG=AG，
∴△ADE≌△AFG．
（2）證明：∵AB=6，CD=3DE，
∴DC=6，
∴DE=2，CE=4，
∴EF=DE=2，
設(shè)FG=x，
則BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，4²+（6-x）²=（x+2）²，
解得x=3，
∴BG=FG=3，CG=6-x=3，
∴BG=CG．
（3）過點F作FN⊥CG于點N，

則∠FNG=∠DCG=90°，
又∵∠EGC=∠EGC，
∴△GFN∽△GEC，
∴，
∴，
∴，
∴S_△CGF=．
分析：（1）由軸對稱可以得出AF=AD，∠D=∠AFE=90°，得出∠AFG=90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得出AF=AB，根據(jù)HL就可以判斷△ABG≌△AFG．
（2）由條件可以求出ED的值，設(shè)FG=x，則BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，由勾股定理可以求出x的值，從而可以求出BG和CG的值，得出結(jié)論．
（3）過點F作FN⊥CG于點N，可以得出∠FNG=∠DCG=90°，通過證明△GFN∽△GEC，得出，可以求出FN的值，最后利用三角形的面積公式可以求出其面積．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用及三角形面積公式的運用．在解答中注意全等三角形和相似三角形的對應(yīng)頂點在對應(yīng)的位置．