Question

如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M．D在y軸上，OB=OD=3，OA=5．

（1）試用含a的式子表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若S_△ABC﹣S_△ACM=；

①求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；

②如圖2，將△BOD繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤180°）得到△B′OD′，直線AD與BC相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）由線段長(zhǎng)度，確定點(diǎn)A，B坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c即可用a表示拋物線，運(yùn)用頂點(diǎn)公式即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；

（2）①用a表示△ABC與△ACM的面積，根據(jù)題意列方程求解即可；

②根據(jù)題意分析出：以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，當(dāng)AD與圓O在第二象限內(nèi)相切時(shí)，Q的縱坐標(biāo)最大，當(dāng)AD與圓O在第三象限內(nèi)相切時(shí)，Q的縱坐標(biāo)最小，

分別求解即可，求解時(shí)，先確定切點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩條直線解析式，聯(lián)立直線解方程組求出y的值即可．

【解答】解：（1）由OB=OD=3，OA=5可得，

點(diǎn)A（﹣5，0），B（3，0），D（0，5），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣3）×（x+5），

整理得：y=ax²+2ax﹣15a，

所以頂點(diǎn)M（﹣1，﹣16a）；

（2）如圖1

過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，交直線AC于點(diǎn)H，

y=ax²+2ax﹣15a，令x=0，解得：y=﹣15a，

所以：C（0，﹣15a）

設(shè)直線AC解析式為：y=mx+n，

由A（﹣5，0），C（0，﹣15a），坐標(biāo)可得，，

解得：，

所以直線AC：y=﹣3ax﹣15a，

由M（﹣1，﹣16a），可得，

點(diǎn)H（﹣1，﹣12a），

所以MH=﹣16a﹣（﹣12a）=﹣4a，

所以：S_△ACM===﹣10a，

S_△ABC==﹣60a，

由S_△ABC﹣S_△ACM=，

解得：a=﹣，

所以：拋物線的解析式為：y=；

②如圖2

以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，當(dāng)AD與圓O在第二象限內(nèi)相切時(shí)，Q的縱坐標(biāo)最大，

此時(shí)，易求點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（﹣），點(diǎn)A（﹣5，0）；點(diǎn)B′（），

用兩點(diǎn)法可求直線AD′解析式為：y=，

直線B′C的解析式為：，

聯(lián)立，

解得y=，

如圖3

以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，當(dāng)AD與圓O在第三象限內(nèi)相切時(shí)，Q的縱坐標(biāo)最小，

此時(shí)易求點(diǎn)D′（，），點(diǎn)A（﹣5，0）；點(diǎn)B′（﹣），

用兩點(diǎn)法可求直線AD′解析式為：，

直線B′C的解析式為：，

聯(lián)立，

解得：y=．

所以：點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍為：≤y≤．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)用已知點(diǎn)求解析式，會(huì)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角形面積，會(huì)運(yùn)用圓的知識(shí)分析解決旋轉(zhuǎn)的相關(guān)問題是解題的關(guān)鍵．