Question

（2013•奉賢區(qū)二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)C在半徑OA上（點(diǎn)C與點(diǎn)O、A不重合），過點(diǎn)C作AB的垂線交⊙O于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OD，過點(diǎn)B作OD的平行線交⊙O于點(diǎn)E、交射線CD于點(diǎn)F．

（1）若

ED

=

BE

，求∠F的度數(shù)；
（2）設(shè)CO=x，EF=y寫出y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線OD的對稱點(diǎn)為P，若△PBE為等腰三角形，求OC的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接OE，由

ED

=

BE

，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度數(shù)；
（2）作OH⊥BE，垂足為H，易得△HBO≌△COD，即可得CO=BH=x，求得BE=2x，易得△COD∽△CBF，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得

4

2x+y

=

x

4+x

，則可求得y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）由∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，可得∠COD=∠DOE，即可得C關(guān)于直線OD的對稱點(diǎn)為P在線段OE上，然后分別從PB=PE，EB=EP，BE=BP去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）連接OE，-------------------------------------------------------（1分）
∵

ED

=

BE

，
∴∠BOE=∠EOD-------------------------------------------------------------------（1分）
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，-------------------------------------------------------------------（1分）
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，---------------------------------------------------------------------（1分）
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；--------------------------------------------------------------------------（1分）

（2）作OH⊥BE，垂足為H，-----------------------------------------------------------------------------（1分）
∵在△HBO和△COD中，

∠DCO=∠OHB=90° ∠OBE=∠COD OB=OD

，
∴△HBO≌△COD（AAS），-------------------------------------------------------------------------------------（1分）
∴CO=BH=x，
∴BE=2x，
∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴

OD

BF

=

OC

BC

，--------------------------------------------------------------------（1分）
∴

4

2x+y

=

x

4+x

，
∴y=

4x+16-2x2

x

（0＜x＜4）；-------------------------（2分）

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C關(guān)于直線OD的對稱點(diǎn)為P在線段OE上，----------------（1分）
若△PBE為等腰三角形，
設(shè)CO=x，
∴OP=OC=x，
則PE=OE-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①當(dāng)PB=PE，不合題意舍去；--------------------------------------------------------------（1分）
②當(dāng)EB=EP，2x=4-x，
解得：x=

4

3

，---------------------------------------------------------（1分）
③當(dāng)BE=BP，作BM⊥OE，垂足為M，
∴EM=

1

2

PE=

4-x

2

，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴

BE

DO

=

EM

OC

，
∴

2x

4

=

4-x 2

x

，
整理得：x²+x-4=0，
解得：x=

-1± 17

2

（負(fù)數(shù)舍去）．----------------------------------（1分）
綜上所述：當(dāng)OC的長為

4

3

或

-1+ 17

2

時(shí)，△PBE為等腰三角形．

點(diǎn)評：此題考查了圓的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．