Question

已知：如圖，AB為⊙O的弦，P為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC切⊙O于C，CD為⊙O的直徑，CD交AB于E，DE=2，AE=3，BE=6，則PB=（　�。�

A．9

B．12

C．15

D．6

Answer 1

分析：過(guò)O作OF垂直于AB，利用垂徑定理得到F為AB的中點(diǎn)，由AB的長(zhǎng)求出AF的長(zhǎng)，再由AF-AE求出EF的長(zhǎng)，利用相交弦定理得到AE•BE=DE•EC，求出EC的長(zhǎng)，由DE+EC求出直徑DC的長(zhǎng)，確定出半徑OD的長(zhǎng)，由OD-DE求出OE的長(zhǎng)，由CP為圓O的切線，得到EC垂直于CP，得到一對(duì)直角相等，再由一對(duì)公共角，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形EFO與三角形ECP相似，由相似得比例，將各自的值代入即可求出PB的長(zhǎng)．

解答：解：過(guò)O作OF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，
又AE=3，BE=6，
∴AF=BF=

1

2

AB=

1

2

（AE+BE）=4.5，
∴EF=AF-AE=4.5-3=1.5，
由相交弦定理得到AE•BE=DE•EC，
∵DE=2，AE=3，BE=6，
∴EC=

AE•BE

DE

=9，
∴圓的直徑DC=DE+EC=2+9=11，半徑OD=5.5，
∴OE=OD-DE=5.5-2=3.5，
∵CP為圓O的切線，∴∠ECP=90°，
∴∠EFO=∠ECP=90°，且∠FEO=∠CEP，
∴△EFO∽△ECP，
∴

EF

EC

=

EO

EP

=

EO

EB+BP

，即

1.5

9

=

3.5

PB+6

，
解得：PB=15．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，相交弦定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．