Question

【題目】綜合與探究

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線W的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+x+4．拋物線W與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，直線l經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．

(2)將拋物線W沿x軸向右平移得到拋物線W′，設(shè)拋物線W′的對(duì)稱(chēng)軸與直線l交于點(diǎn)F，當(dāng)△ACF為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出此時(shí)拋物線W′的函數(shù)表達(dá)式．

(3)如圖2，連接AC，CB，將△ACD沿x軸向右平移m個(gè)單位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．設(shè)A′C交直線l于點(diǎn)M，C′D′交CB于點(diǎn)N，連接CC′，MN．求四邊形CMNC′的面積（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，0），y=﹣2x+4；(2) 點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，﹣6），y=﹣x2+x；(3) 四邊形CMNC′的面積為m2.

【解析】

根據(jù)拋物線的解析式，令y＝0即可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)拋物線的解析式可分別求出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出直線的表達(dá)式.

根據(jù)題意，利用角的等量關(guān)系可以得到∠1＝∠3，進(jìn)而得到tan∠1＝tan∠3，根據(jù)三角函數(shù)的計(jì)算方法列出等式，根據(jù)一次函數(shù)的解析式設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（xF，﹣2xF＋4），將各線段的長(zhǎng)度代入等式即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的法則即可求出w′的表達(dá)式.

根據(jù)平移，可以得到點(diǎn)C′，A′，D′的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可以得到直線A′C′，BC，C′D′的解析式，根據(jù)交點(diǎn)的計(jì)算方法列方程組可以求得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，根據(jù)平移的定義和平行四邊形的定義可知四邊形CMNC′是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形面積的計(jì)算方法可以得到平行四邊形CMNC′的面積.

（1）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2＋＋4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝7，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，0）．

∵﹣＝

∴拋物線w的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，0）．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx＋b，

解得

∴直線l的解析式為y＝﹣2x＋4；

(2)∵拋物線w向右平移，只有一種情況符合要求，

即∠FAC＝90°，如圖.

此時(shí)拋物線w′的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為G，

∵∠1＋∠2＝90°∠2＋∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

∴tan∠1＝tan∠3，

∴=．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（xF，﹣2xF＋4），

∴＝，解得xF＝5，﹣2xF＋4＝﹣6，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，﹣6），此時(shí)拋物線w′的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2＋x；

(3)由平移可得：點(diǎn)C′，點(diǎn)A′，點(diǎn)D′的坐標(biāo)分別為C′（m，4），A′（﹣3＋m，0），D′（2＋m，0），CC′∥x軸，C′D′∥CD，

可用待定系數(shù)法求得

直線A′C′的表達(dá)式為y＝x＋4﹣m，

直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x＋4，

直線C′D′的表達(dá)式為y＝﹣2x＋2m＋4，

分別解方程組和

解得和

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m＋4），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣ m＋4），

∴yM＝yN

∴MN∥x軸，

∵CC′∥x軸，

∴CC′∥MN．

∵C′D′∥CD，

∴四邊形CMNC′是平行四邊形，

∴S＝m[4﹣（﹣m＋4）]

＝m2