Question

15．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是4，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=$\frac{1}{2}$BC，連接CD和EF．
（1）求證：DE=CF；
（2）求EF的長(zhǎng)；
（3）求四邊形DEFC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線(xiàn)定理即可解決問(wèn)題．
（2）先求出CD，再證明四邊形DEFC是平行四邊形即可．
（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）在△ABC中，
∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線(xiàn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=CF．

（2）∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，
∵BC=4，BD=2，
∴CD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵DE∥CF，DE=CF，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∴EF=CD=2$\sqrt{3}$．

（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H．

∵∠DHC=90°，∠DCB=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$DC=$\sqrt{3}$，
∵DE=CF=2，
∴S_{四邊形DEFC}=CF•DH=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，記住平行四邊形的面積公式，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，屬于中考�？碱}型．