Question

若關(guān)于x的方程x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：分類討論：（1）當(dāng)x≥3，方程變?yōu)椋簒²+（a-8）x+15-5a=0，△＞0，即△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²＞0，∴a+2≠0，即a≠-2，并且求出方程的解都要大于或等于3，再得到a≤0，此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0，且a≠-2，（2）當(dāng)x＜3，方程變?yōu)椋簒²-（a+4）x+a+3=0，用同樣的方法求出a的取值范圍；最后綜合得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：當(dāng)x≥3，方程變?yōu)椋簒²+（a-8）x+15-5a=0，
∵方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，即△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²＞0，
∴a+2≠0，即a≠-2．
此時(shí)方程的根為x=

8-a± (a+2)2

2

=

8-a±(a+2)

2

，
則x₁=5，x₂=3-a．而x≥3，所以有3-a≥3，即a≤0，
此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0，且a≠-2．
當(dāng)x＜3，方程變?yōu)椋簒²-（a+4）x+a+3=0，
∵方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，即△=（a+4）²-4（a+3）=（a+2）²＞0，
∴a+2≠0，即a≠-2．
此時(shí)方程的根為x=

a+4±  (a+2) 2

2

=

a+4±(a+2)

2

，
則x₁=1，x₂=3+a．而x＜3，所以有3+a＜3，即a＜0．
實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜0且a≠-2．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0，且a≠-2．
故答案為a≤0，且a≠-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了分類討論的思想方法的運(yùn)用．