Question

如圖，點A是直線y=2x上一動點，以A為頂點的拋物線y=（x-m）²+h交直線y=2x于另一點E，交y軸于點F，拋物線的對稱軸交x軸于點B，交直線EF于點C（點A，E，F(xiàn)兩兩不重合）．
（1）若點A的橫坐標為1，求點E的坐標．
（2）當點A運動到使EF與x軸平行時，求

AC

OF

的值．
（3）當點A在直線y=2x上運動時，是否存在使點F的位置最低的情形？如果存在，請求出此時點A的坐標及

AC

OF

 的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A點橫坐標1坐標代入直線y=2x可求出縱坐標，進而可得到m和h的值，再聯(lián)立拋物線和直線y=2x即可求出點E的坐標；
（2）當EF與x軸平行時，點E與點F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到FC=CE，然后利用CA∥y軸怎么△ECA∽△EFO，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到

AC

OF

的值；
（3）當點A在直線y=2x上運動時，存在使點F的位置最低的情形，點F的縱坐標為m²+2m，當m=-1時，點F的位置最低，此時A點坐標為（-1，-2），所以拋物線解析式為y=（x+1）²-2．求得該拋物線與直線y=2x的另一個交點E的坐標為（1，2），進而可求出

AC

OF

的值．

解答：解：（1）∵點A是直線y=2x上一動點，點A的橫坐標為1，
∴A的縱坐標為2，
∵以A為頂點的拋物線y=（x-m）²+h，
∴y=（x-1）²+2，
∵拋物線交直線y=2x于另一點E，
∴

y=2x y=(x-1)2+2

，
解得：

x=1 y=2

或

x=3 y=6

，
∴點E的坐標（3，6）；                                                     
（2）當EF∥x軸時，點E，F(xiàn)關(guān)于直線AC對稱，
∴EC=CF．
∵CA∥y軸，
∴△ECA∽△EFO，
∴

AC

OF

=

EC

EF

=

1

2

；                                                       
（3）當點A在直線y=2x上運動時，存在使點F的位置最低的情形，
理由如下：
點F的縱坐標為m²+2m，當m=-1時，點F的位置最低，此時A點坐標為（-1，-2），
∵拋物線解析式為y=（x+1）²-2．
求得該拋物線與直線y=2x的另一個交點E的坐標為（1，2），
∴OA=OE，
∴

AC

OF

=

AE

OE

=2．

點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的平移、函數(shù)圖象的交點坐標與其解析式的組成的方程組的解的關(guān)系及相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合性比較強，對學生的能力要求比較高，平時加強訓練．