Question

【題目】如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．

（1）請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？

（2）請(qǐng)判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；

（3）在平移變換過程中，設(shè)y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形APQD為平行四邊形；（2）OA=OP，OA⊥OP；（3） 或，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2．

【解析】

試題（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得PQ，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，可得PQ與AB的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，可得∠PQO，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AO與OP的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得AO與OP的位置關(guān)系；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得OE的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得到答案．

試題解析：

(1)四邊形APQD為平行四邊形．

(2)OA＝OP，OA⊥OP.理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°.

∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，

∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO，∴OB＝OQ，

∴△AOB≌△OPQ(SAS)．

∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP.

(3)如解圖，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E.

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

BQ＝x＋2，OE＝，

∴y＝··x

＝－.

又∵0≤x≤2，

∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值2.

②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

BQ＝2－x，OE＝，

∴y＝··x

＝－＋.

又∵0≤x≤2，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值.

綜上所述，y的最大值為2.