Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上（不與端點(diǎn)重合）．
（1）若AB=BC，且BD=DE，求證：DE是△ABC的中位線；
（2）若DE=BC，則結(jié)論“DE一定是△ABC的中位線”是否正確？若正確請證明；若不正確，請舉出反例．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠A=∠C，再根據(jù)中點(diǎn)的定義可得AD=BD，然后求出AD=DE，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得到∠A=∠AED，從而推出∠AED=∠C，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得DE∥BC，然后證明△ADE和△ABC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出E為AC的中點(diǎn)，從而得證；
（2）可以舉反例，先作出等腰三角形平行于底邊的中位線DF，再過一腰的中點(diǎn)向另一腰作等于頂角的角得到與中位線相等的線段DE，從而得到證明．
解答：（1）證明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
又∵BD=DE，
∴AD=DE，
∴∠A=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∴E為AC中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線；

（2）結(jié)論不正確．
反例如下：如圖，△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C=70°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC邊的中點(diǎn)，
∴DE=BC，且DF∥BC，
∴∠ADF=∠AFD=70°，
在∠ADF內(nèi)部作∠FDE=40°，交線段AF于點(diǎn)E，
∴∠DEF=70°，
∴DE=DF，
∴DE=BC，但點(diǎn)E不是AC邊的中點(diǎn)，
∴DE不是△ABC的中位線，
∴“當(dāng)DE=BC時(shí)，DE是△ABC的中位線”這個(gè)結(jié)論不正確．
點(diǎn)評：本題考查了三角形的中位線定理的證明，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及反證法，熟練掌握中位線的定義，關(guān)鍵在于利用已知條件證明另一點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)．