閱讀材料:如圖,△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1,r2,腰上的高為h,連接AP,則S△ABP+S△ACP=S△ABC,即:
1
2
AB•r1+
1
2
AC•r2=
1
2
AB•h,∴r1+r2=h
(1)理解與應(yīng)用
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”,那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”,即:已知邊長為2的等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1,r2,r3,試證明:r1+r2+r3=
3

(2)類比與推理
邊長為2的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離的和等于______;
(3)拓展與延伸
若邊長為2的正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1,r2,…rn,請問r1+r2+…rn是否為定值(用含n的式子表示),如果是,請合理猜測出這個定值.
(1)分別連接AP,BP,CP,作AD⊥BC于D,
∴∠ADB=90°,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC=2,∠ABC=60°,
∴∠BAD=30°,
∴BD=1,在Rt△ABD中,由勾股定理,得
∴AD=
3

∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC
1
2
AB•r1+
1
2
BC•r2+
1
2
AC•r3=
1
2
BC×AD,
∵BC=AC=AB,
∴r1+r2+r3=AD.
∴r1+r2+r3=
3


(2)如圖2,∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD=2.
∵PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥DC,PH⊥AD,
∴四邊形PEBF是矩形,四邊形PFCG是矩形,四邊形PGDH是矩形,四邊形PHAE是矩形,
∴PE=AH,PF=BE,PG=HD,PH=AE,
∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4.
故答案為4.

(3)設(shè)正n邊形的邊心距為r,且正n邊形的邊長為2,
∴S正n邊形=
1
2
×2n×r.r=
1
tan
180
n
,
∵S正n邊形=
1
2
×2×r1+
1
2
×2×r2+
1
2
×2×r1+…+
1
2
×2×rn,
1
2
×2×r1+
1
2
×2×r2+
1
2
×2×r1+…+
1
2
×2×rn=
2r
2
×n,
∴r1+r2+…+rn=nr=
n
tan
180
n
(為定值).
練習(xí)冊系列答案
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OB
上一點(diǎn),∠BMO=120°,則⊙C的半徑長為( 。
A.6B.5C.3D.3
2

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A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊答案