Question

20．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3）三點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△BDP與△ABC相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)E是題中拋物線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則是否存在以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3）三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得出結(jié)論；
（2）由三角函數(shù)正切值可得出∠ABC=∠ABD，再去分兩種情況討論相似，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，n），分BD為對(duì)角線以及BD為邊討論，由平行四邊形的性質(zhì)，用含n的代數(shù)式表示出F點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3）三點(diǎn)，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=16a+4b+c}\\{-3=4a-2b+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）假設(shè)存在，且點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，0），令BC與y軸交點(diǎn)為M．
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，令x=0，則y=2，
即點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{-3=-2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
即直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2．
令x=0，則y=-2，
即點(diǎn)M（0，-2）．
∵tan∠ABC=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{OD}{OB}$=tan∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD．
①當(dāng)∠DPB=∠CAB時(shí)，如圖1，

∵△BPD∽△BAC，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3），D（0，2），P（m，0），
∴BD=2$\sqrt{5}$，BC=3$\sqrt{5}$，BA=5，BP=4-m，
∴$\frac{4-m}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$，即3m=2，解得m=$\frac{2}{3}$．
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）．
②當(dāng)∠BAD=∠BCA時(shí)，如圖2，

∵△ABC∽△DBA，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BD}{BA}$，
∴$\frac{4-m}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即4-m=6，解得m=-2．
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）．
綜上知：在x軸上存在點(diǎn)P，使△BDP與△ABC相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）或（-2，0）．
（3）假設(shè)存在以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形，有兩種情況，一種BD為對(duì)角線，另一種BD為一條邊．
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，對(duì)稱軸為x=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，n）．
①當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，如圖3，

∵四邊形DEBF為平行四邊形，所以EF和BD互相平分，令中點(diǎn)為Q．
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，2-n）．
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴2-n=-$\frac{1}{2}$×${（\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{2}$+2，
解得n=-$\frac{5}{8}$，
即E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．
②當(dāng)BD為一條邊時(shí)，如圖4，此時(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)E的左側(cè)，

過(guò)E作EG∥x軸，過(guò)F作FG∥y軸，二者交于點(diǎn)G．
∵四邊形DEBF為平行四邊形，
∴BD=EF，且BD∥EF，
∵EG∥x軸，
∴∠DBO=∠FEG．
在△BDO和△EFG中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠FEG}\\{∠BOD=∠EGF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△EFG（AAS）．
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，n+2），
∴有n+2=-$\frac{1}{2}$×${（-\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$×（-$\frac{5}{2}$）+2，解得n=-$\frac{55}{8}$，
即E點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{55}{8}$）．
由拋物線的對(duì)稱性可知，還存在F點(diǎn)在E的右側(cè)情況，
此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{11}{2}$，n-2），
∴有n-2=-$\frac{1}{2}$×${（\frac{11}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{11}{2}$+2，解得n=-$\frac{23}{8}$．
即E點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{23}{8}$）．
綜合①②可得：存在以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）、（$\frac{3}{2}$，-$\frac{55}{8}$）和（$\frac{3}{2}$，-$\frac{23}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用、全等三角形的判定以及性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式；（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比等于相似比，找出含m的方程；（3）設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)可得出關(guān)于n的方程．