Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連接OB、AB，并延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB=AB，過(guò)點(diǎn)D作軸垂線，分別交軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連接CF．

1.當(dāng)∠AOB=30°時(shí)，求弧AB的長(zhǎng)度

2.當(dāng)DE=8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；

3.在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.連接BC，

∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。

∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。

∴弧AB的長(zhǎng)=。

2.連接OD，

∵OA是⊙C直徑，∴∠OBA=90°。

又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分線�！郞D=OA=10。

在Rt△ODE中，OE=。

∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，

由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA。

∴，即，∴EF=3。

3.設(shè)OE=，

①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。

當(dāng)∠ECF=∠BOA時(shí)，此時(shí)△OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC中點(diǎn)，即OE=，∴E₁（，0）。

當(dāng)∠ECF=∠OAB時(shí)，有CE=5﹣，AE=10﹣，

∴CF∥AB，有CF=AB。

∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得，。∴E₂（，0）。

②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。

連接BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，

∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO�！唷螧EA=∠ECF。

∴CF∥BE。∴。

∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90⁰，∴△CEF∽△AED，∴，

而AD=2BE，∴。即，

解得

∵＜0，舍去，∴E₃（，0）。

∵＜0，舍去，

又∵點(diǎn)E在軸負(fù)半軸上，∴E₄（，0）。

綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為：

E₁（，0）、E₂（，0）、E₃（，0）、E₄（，0）。

【解析】（1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=5，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解；

（2）連接OD，由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；

（3）存在．當(dāng)以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)，分為①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三種情況，分別求E點(diǎn)坐標(biāo)．