Question

15．2015年10月11日中國新聞網(wǎng)報道，在故官博物院“石渠寶箋展”真跡展出之際，榮寶齋主辦的“石渠寶箋”高仿真藝術(shù)品在內(nèi)蒙古舉行首展，某商場購進某種仿真工藝品，已知每件工藝品的進價為40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)月銷量y（件）與銷售單價x（元）成一次函數(shù)關(guān)系，并且當銷售單價為70元時，每月銷量可達50件，當銷售單價為90元時，每月銷量可達30件，每月銷售該工藝品的其他支出為300元．
（1）寫出該產(chǎn)品月利潤p（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)表達式；（月利潤=總銷售額-進價-其他支出）
（2）求當銷售單價為多少時，月利潤最大？最大利潤是多少？
（3）若該商場每月的利潤不低于675元，在此條件下要使產(chǎn)品的銷量最大，求銷售單價應(yīng)定為多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，根據(jù)售價與銷量之間的數(shù)量關(guān)系建立方程組，月銷量y（件）與銷售單價x（元）的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)月利潤=總銷售額-進價-其它支出求出，該產(chǎn)品月利潤p（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)表達式；
（2）根據(jù)利潤=（售價-進價）×數(shù)量就可以表示出p；
（3）求出年銷售獲利等于675萬元時，銷售單價x的值，從而確定銷售單價x的范圍，及二次函數(shù)w最大時，x的值．

解答 解：（1）設(shè)月銷量y（件）與銷售單價x（元）成一次函數(shù)關(guān)系為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{50=70k+b}\\{30=90k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=120}\end{array}\right.$．
∴月銷量y（件）與銷售單價x（元）成一次函數(shù)關(guān)系為：y=-x+120，
∴p=（-x+120）（x-40）-300=-x²+160x-5100；
（2）∵p=-x²+160x-5100=-（x-80）²+1300，
∴當x=80時，p_最大=1300，
即：銷售單價為80元時，月利潤最大，最大利潤是1300元；
（3）令p=675，得-x²+160x-5100=675，
整理，得x²-160x+5775=0．
解得x₁=105，x₂=55．
要使年獲利不低于675萬元，銷售單價應(yīng)在55元到105元之間．
又因為銷售單價越低，銷售量越大，
所以要使銷售量最大，又使年獲利不低于675萬元，銷售單價應(yīng)定為55元．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，掌握售價-進價=利潤．