Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙0，弦AD⊥AB交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作⊙0的切線交DA的延長線于點(diǎn)F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求證：AB=AC；
（2）若EF=4，tanF=

3

2

，求DE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接BD，由弦AD⊥AB，可得BD是直徑，又由BF是⊙O的切線且∠ABF=∠ABC，可證得∠C=∠ABC，即可得AB=AC；
（2）易求得△BEF是等腰三角形，求得AF的長，又可證得△ABF∽△ADB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得DE的長．

解答：（1）證明：連接BD，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
∴BD是直徑，
∵BF是⊙O的切線，
∴OB⊥BF，
∴∠OBF=90°，
∴∠OBA+∠ABF=90°，
∵∠OBA+∠D=90°，
∴∠D=∠ABF，
∵∠C=∠D，∠ABF=∠ABC，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC；

（2）解：∵AD⊥AB，
∴∠AEB+∠ABE=∠ABF+∠F，
∵∠ABF=∠ABC，
∴∠BEF=∠F，
∴BE=BF，
∴AE=AF=

1

2

EF，
∵EF=4，
∴AF=2，
∵∠BAF=90°，
∴tan∠F=

AB

AF

=

3

2

，
∴AB=3，
∵∠DAB=∠BAF，∠ABF=∠D，
∴△ABF∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AF

AB

，
即

3

AD

=

2

3

，
∴AD=

9

2

，
∵AE=2，
∴DE=AD-AE=

5

2

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．