Question

6．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，P為BC中點(diǎn)，D是BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，若AE=$\sqrt{2}$，BC=8，則PE=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由△ABC是等腰直角三角形得出∠B=45°，AB=AC，求出∠BDF=45°，得出BF=DF，證得四邊形AEDF為矩形，連接AP，由等腰三角形三線合一與直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出AP⊥BC，∠PAC=45°，AP=$\frac{1}{2}$BC=BP，由SAS證得△BPF≌△APE，得出PE=PF，∠APE=∠BPF，證得△EPF為等腰直角三角形，求出EF的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，AB=AC，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF，
∵DE⊥AC，
∴四邊形AEDF為矩形，
∴AE=DF=BE=$\sqrt{2}$，
連接AP、EF，如圖所示：
∵P為BC中點(diǎn)，
∴AP⊥BC，∠PAC=45°，AP=$\frac{1}{2}$BC=BP，
在△BPF和△APE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠PAE=∠PBE=45°}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPF≌△APE（SAS），
∴PE=PF，∠APE=∠BPF，
∴∠EPF=90°，
∴△EPF為等腰直角三角形，
∵BC=8，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∴AF=3$\sqrt{2}$，
EF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{18+2}$=2$\sqrt{5}$，
∴PE=$\sqrt{10}$，
故答案為$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是矩形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握勾股定理與等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．