Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4，則△ADE的面積為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接EF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，然后求出∠EAF=45°，從而得到∠EAF=∠DAE，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=DE，再求出△CEF是直角三角形，利用勾股定理列式求出EF，然后求出BC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點A到BC的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：如圖，把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接EF，
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴∠ACB=∠B=45°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠DAE，
在△AEF和△AED中，

AF=AD ∠EAF=∠DAE AE=AE

，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴EF=DE，
∵∠ECF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴△CEF是直角三角形，
∴EF=

CF2+CE2

=

32+42

=5，
∴BC=CE+DE+BD=4+5+3=12，
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴點A到BC的距離為

1

2

×12=6，
∴△ADE的面積=

1

2

×5×6=15．
故答案為：15．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．