Question

如圖所示，過點(diǎn)F（0，1）的直線y=kx+b與拋物線y=

1

4

x2交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點(diǎn)（其中x₁＜0，x₂＞0）．
（1）求b的值；
（2）求x₁•x₂的值；
（3）分別過M、N作直線l：y=-1的垂線，垂足分別是M₁、N₁．
①判斷△M₁FN₁的形狀，并證明你的結(jié)論．
②直線l：y=-1和以MN為直徑的圓是否相切．請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入直線的解析式y(tǒng)=kx+b可以確定b的值；
（2）聯(lián)立直線與拋物線，代入（1）中求出的b值，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求出x₁•x₂的值．
（3）①確定M₁，N₁的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別求出M₁F²，N₁F²，M₁N₁²，然后用勾股定理判斷三角形的形狀．
②過M作MH⊥NN₁于H，分別取MN和M₁N₁的中點(diǎn)P，P₁，證明線段MN的中點(diǎn)到直線l的距離等于MN長度的一半，即可得到以MN為直徑的圓與l相切．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b過點(diǎn)F（0，1），∴b=1；

（2）∵直線y=kx+b與拋物線y=

1

4

x2交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
∴可以得出：kx+b=

1

4

x²，
整理得：

1

4

x²-kx-1=0，
∵a=

1

4

b=-k，c=-1
∴x₁•x₂=

c

a

=-4；
（3）①△M₁FN₁是直角三角形（F點(diǎn)是直角頂點(diǎn)）．
理由如下：設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)是F₁，
FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²+4，
FN₁²=FF₁²+F₁N₁²=x₂²+4，
M₁N₁²=（x₁-x₂）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8，
∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²，
∴△M₁FN₁是以F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形．

②y=-1和以MN為直徑的圓相切，
理由如下：
過M作MH⊥NN₁于H，MN²=MH²+NH²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
=（x₁-x₂）²+[（kx₁+1）-（kx₂+1）]²，
=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²，
=（k²+1）（x₁-x₂）²，
=（k²+1）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（k²+1）（16k²+16）
=16（k²+1）²，
∴MN=4（k²+1），
分別取MN和M₁N₁的中點(diǎn)P，P₁，
PP₁=

1

2

（MM₁+NN₁）=

1

2

（y₁+1+y₂+1）=

1

2

（y₁+y₂）+1=

1

2

k（x₁+x₂）+2=2k²+2，
∴PP₁=

1

2

MN，
即線段MN的中點(diǎn)到直線l的距離等于MN長度的一半．
∴以MN為直徑的圓與l相切．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，用到的知識點(diǎn)有一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)心直角三角形的判定、勾股定理、直線和圓相切的判定定理，題目的綜合性不小，對學(xué)生解題能力的要求也很高．