Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別以3cm/s、1cm/s的速度從點A、C同時出發(fā)，點Q從點C向點D運動．
（1）若點P從點A運動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止運動，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，則經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？
（2）若點P沿著AB→BC→CD運動，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點Q從點C運動到點D停止，點P隨點Q的停止而停止運動，則經(jīng)過多長時間，△PBQ的面積為12cm²？

Answer 1

分析 （1）設(shè)x秒后，點P和點Q的距離是10cm．在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程（16-5x）²=64，通過解方程即可求得x的值；
（2）分類討論：①當(dāng)點P在AB上時；②當(dāng)點P在BC邊上；③當(dāng)點P在CD邊上時．

解答 解：（1）如下圖1所示：作QM⊥AB，垂足為M，
設(shè)x秒后，點P和點Q的距離是10cm，
∵AP=3xcm，CQ=BM=xcm
∴PM=16-3x-x=（16-4x）cm
在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理得：（16-4x）²+6²=10²
化簡得：（16-5x）²=64
解之得：x₁=2，x₂=6
即：當(dāng)點運動2秒或6秒后，點P和點Q的距離是10cm．
（2）設(shè)經(jīng)過y秒后，△PBQ的面積為12cm²
∵（16+6+16）÷3=12$\frac{2}{3}$，16÷1=16
∴12$\frac{2}{3}$＜16，即：當(dāng)點Q運動到到點D時，P點運動到CD上，
①當(dāng)點P運動到AB上時，如備用圖1所示：
∵PB=16-3y，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•（16-3y）•6=12
解之得：y=4
即：經(jīng)過4秒之后，△PBQ的面積為12cm²．
②當(dāng)點P運動到BC上時，如備用圖2所示：
∵BP=3y-16，CQ=y
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•（3y-16）•y=12
化簡得：3y²-16y-24=0
解之得y_1，2=$\frac{8±2\sqrt{34}}{3}$（負值舍去）
即：經(jīng)過$\frac{8+2\sqrt{34}}{3}$秒之后，△PBQ的面積為12cm²
③當(dāng)點P運動到CD上時，如備用圖3所示：
∵CP=3y-22，CQ=y
∴PQ=y-3y+22=22-2y
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•（22-2y）•6=12
解之得：y=9
即：經(jīng)過9秒之后，△PBQ的面積為12cm²．
綜上所述：即：經(jīng)過4秒或經(jīng)過$\frac{8+2\sqrt{34}}{3}$秒或經(jīng)過9秒之后，△PBQ的面積為12cm²．

點評 本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、兩點間的距離、三角形的面積等知識點．關(guān)鍵是解答（2）時，要分類討論，以防漏解．