Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以3cm/s、1cm/s的速度從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．
（1）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？
（2）若點(diǎn)P沿著AB→BC→CD運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，△PBQ的面積為12cm²？

Answer 1

分析 （1）設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程（16-5x）²=64，通過(guò)解方程即可求得x的值；
（2）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上；③當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時(shí)．

解答 解：（1）如下圖1所示：作QM⊥AB，垂足為M，
設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm，
∵AP=3xcm，CQ=BM=xcm
∴PM=16-3x-x=（16-4x）cm
在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理得：（16-4x）²+6²=10²
化簡(jiǎn)得：（16-5x）²=64
解之得：x₁=2，x₂=6
即：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2秒或6秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)y秒后，△PBQ的面積為12cm²
∵（16+6+16）÷3=12$\frac{2}{3}$，16÷1=16
∴12$\frac{2}{3}$＜16，即：當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到到點(diǎn)D時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到CD上，
①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上時(shí)，如備用圖1所示：
∵PB=16-3y，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•（16-3y）•6=12
解之得：y=4
即：經(jīng)過(guò)4秒之后，△PBQ的面積為12cm²．
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC上時(shí)，如備用圖2所示：
∵BP=3y-16，CQ=y
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•（3y-16）•y=12
化簡(jiǎn)得：3y²-16y-24=0
解之得y_1，2=$\frac{8±2\sqrt{34}}{3}$（負(fù)值舍去）
即：經(jīng)過(guò)$\frac{8+2\sqrt{34}}{3}$秒之后，△PBQ的面積為12cm²
③當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CD上時(shí)，如備用圖3所示：
∵CP=3y-22，CQ=y
∴PQ=y-3y+22=22-2y
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•（22-2y）•6=12
解之得：y=9
即：經(jīng)過(guò)9秒之后，△PBQ的面積為12cm²．
綜上所述：即：經(jīng)過(guò)4秒或經(jīng)過(guò)$\frac{8+2\sqrt{34}}{3}$秒或經(jīng)過(guò)9秒之后，△PBQ的面積為12cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)．關(guān)鍵是解答（2）時(shí)，要分類討論，以防漏解．