Question

如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x軸，OA=2OB，AB=5，反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．

（1）直接寫(xiě)出反比例函數(shù)的解析式；

（2）如圖②，P（x，y）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過(guò)O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，連接PQ．設(shè)Q坐標(biāo)為（m，n），其中m＜0，n＞0，求n與m的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若Q坐標(biāo)為（m，1），求△POQ的面積．

Answer 1

解：（1）如圖①，∵∠AOB=90°，

∴OA²+OB²=AB²，

∵OAOA=2OB，AB=5，

∴4OB²+OB²=25，解得OB=，

∴OA=2，

∵ABAB平行于x軸，

∴OC⊥AB，

∴OC•AB=OB•OA，即OC==2，

在Rt△AOC中，AC==4，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），

設(shè)過(guò)A點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=，

∴k=4×2=8，

∴反比例函數(shù)解析式為y=；

（2）分別過(guò)P、Q作x軸垂線，垂足分別為D、H，如圖②，

∵OQOQ⊥OP，

∴∠POH+∠QOD=90°，

∵∠POH+∠OPH=90°，

∴∠QOD=∠OPH，

∴Rt△POH∽R(shí)t△OQD，

∴==，

∵PP（x，y）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，Q點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），其中m＜0，n＞0，OP=2OQ，

∴PH=y，OH=x，OD=﹣m，QD=n，

∴==2，解得x=2n，y=﹣2m，

∵y=，

∴2n•（﹣2m）=8，

∴mn=﹣2（﹣4＜m＜﹣）；

（3）∵n=1時(shí)，m=﹣2，即Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），

∴OQ==，

∴OP=2OQ=2，

∴S_△POQ=××2=5．