Question

已知：在矩形A0BC中，分別以O(shè)B，OA所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．E是邊AC上的一個(gè)動點(diǎn)（不與A，C重合），過E點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與BC邊交于點(diǎn)F．

（1）若△OAE、△OBF的面積分別為S₁、S₂且S₁+S₂=2，求k的值；

（2）若OB=4，OA=3，記問當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時(shí)，S有最大值，其最大值為多少？

（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)E，使得將△CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵點(diǎn)E、F在函數(shù)（k＞0）的圖象上，

∴設(shè)E（x₁， ），F(xiàn)（x₂， ），x₁＞0，x₂＞0，

∴，S₂=  ，

∵S₁+S₂=2，

∴  ，∴k=2；

（2）由題意知：兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

∴，

∴

∴

∴．

當(dāng)時(shí)，有最大值．．

此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3），即點(diǎn)E運(yùn)動到AC中點(diǎn)．

（3）解：設(shè)存在這樣的點(diǎn)E，將沿對折后，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．

由題意得：，，，

，∴．

又，

∴．

∴，∴，

∴．

，∴，解得．

∴，故AE=．

∴存在符合條件的點(diǎn)E，它的坐標(biāo)為

【解析】（1）用k的代數(shù)式表示△OAE、△OBF的面積，根據(jù)S₁+S₂=2得到k的方程，解出k

（2）根據(jù)題意易表示出點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)，用補(bǔ)的方法來表示△OEF的面積，此時(shí)需要注意對于補(bǔ)的圖形不能少減或多減，從而得到S是K的二次函數(shù)，易求S的最大值

（3）由于△CEF是直角三角形，翻折后還是直角三角形，利用三角形相似得到對應(yīng)邊成比例，求出線段MB，由直角三角形的勾股定理求出K的值，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)