(2011•巴中)已知如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABC0為梯形,BC∥A0,四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,0),B(1,4),C(0,4),O(0,O).一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA的方向向A運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C的方向向C運(yùn)動(dòng).兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)若其中一個(gè)到達(dá)終點(diǎn),另一個(gè)也隨之停止.設(shè)其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),PB與AQ互相平分;
(3)連接PQ,設(shè)△PAQ的面積為S,探索S與t的函數(shù)關(guān)系式.求t為何值時(shí),S有最大值?最大值是多少?
分析:(1)設(shè)出拋物線的解析式,運(yùn)用待定系數(shù)法可以直接求出拋物線的解析式.
(2)根據(jù)PB與AQ互相平分可以得出四邊形BQPA是平行四邊形,得出QB=PA建立等量關(guān)系可以求出t值.
(3)是一道分段函數(shù),分為Q點(diǎn)在AB上和在BC上根據(jù)三角形的面積公式表示出S于t的關(guān)系式就可以求出其答案.
解答:答案:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),代入A、B、C三點(diǎn),得
16a+4b+c=0
a+b+c=4
c=4

解得:
a=-
1
3
b=
1
3
c=4

y=-
1
3
x2+
1
3
x+4


(2)∵使得PB與AQ互相平分,
∴四邊形BQPA是平行四邊形,
∴BQ=PA,
∴2t-5=4-t,
解得:t=3.


(3)由已知得AB=5,CB=1.
①當(dāng)0<t<
5
2
時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng),
設(shè)P(xP,0),Q(xQ,yQ),∠OAB=θ,sinθ=
4
5
,
S△PAQ=
1
2
yQ•(4-xp)

yQ=2t•sinθ=
8
5
t,xP=t

S△PAQ=
1
2
8
5
t•(4-t)=
4
5
(4t-t2)
,
∴當(dāng)t=2時(shí),S△PAQ有最大值為
16
5

②當(dāng)
5
2
≤t≤3
時(shí),點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng),則S△PAQ=
1
2
•4•(4-t)=8-2t

∴當(dāng)t=
5
2
時(shí),S△PAQ有最大值為3.
∴綜上所述,當(dāng)t=2時(shí),S△PAQ有最大值為
16
5
點(diǎn)評(píng):本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了二次函數(shù)的最值,待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,三角形的面積的運(yùn)用.
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π
8
π
8

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(1)求證:
EM
EB
=
AM
BC
;
(2)若MN=1cm,BN=3cm,求線段EM的長(zhǎng).

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