Question

【題目】如圖，⊙O是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)P是直線y＝-x＋6上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則的最小值為（ ）

A.3 B.4 C.6- D.2

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵是確定OP垂直AB時(shí)S△PQO的值最�。�先確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出AB=6，則OH=AB=3，再利用切線性質(zhì)得到∠PQO=90°，根據(jù)勾股定理得到PQ=，于是可判斷OP最小時(shí)，PQ最小，S△PQO的值最小，然后求出此時(shí)PQ的長(zhǎng)，再計(jì)算S△PQO的最小值．

解：作OH⊥AB于H，連接OQ、OP，如圖，

當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+6=6，則B（0，6），

當(dāng)y=0時(shí)，-x+6=0，解得x=6，則A（6，0），

∵OA=OB=6，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴AB=6，

∴OH=AB=3，

∵PQ為切線，

∴PQ⊥OQ，

∴∠PQO=90°，

∴PQ==，

∵PQ最小時(shí)，S△PQO的值最小，

∵OP最小時(shí)，PQ最小，

∴當(dāng)OP⊥AB，即P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，OP最小，S△PQO的值最小，

此時(shí)PQ==4，

∴S△PQO的最小值=××4=2．

故選D．