Question

2．如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$，y=$\frac{3}{x}$的圖象交于B、A兩點，則∠OAB的大小的變化趨勢為（　　）

• A． 逐漸變小
• B． 保持不變
• C． 逐漸變大
• D． 時大時小

Answer 1

分析 分別過點A、B作AN⊥x軸、BM⊥x軸，首先證明△BOM∽△OAN，得到$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$；設(shè)B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{3}{n}$），得到BM=$\frac{1}{m}$，AN=$\frac{3}{n}$，OM=m，ON=n，進而得到mn=$\frac{3}{mn}$，mn=$\sqrt{3}$，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；運用三角函數(shù)的定義證明知tan∠OAB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$為定值，即可解決問題．

解答 解：如圖，分別過點A、B作AN⊥x軸、BM⊥x軸，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BOM=∠OAN，
∵∠BMO=∠ANO=90°，
∴△BOM∽△OAN，
∴$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$；
設(shè)B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{3}{n}$），
則BM=$\frac{1}{m}$，AN=$\frac{3}{n}$，OM=m，ON=n，
∴mn=$\frac{3}{mn}$，mn=$\sqrt{3}$；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$①；
∵△BOM∽△OAN，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BM}{ON}$=$\frac{1}{mn}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$②，
∴由①②知tan∠OAB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$為定值，
∴∠OAB的大小不變．
故選B．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定等知識點及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的判定等知識點來分析、判斷、推理或解答．