Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，點(diǎn)D在AC上，CD=3厘米．點(diǎn)P、Q分別由A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，速度為每秒k厘米，行完AC全程用時(shí)8秒；點(diǎn)Q沿CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，速度為每秒1厘米．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（0＜x＜8），△DCQ的面積為y₁平方厘米，△PCQ的面積為y₂平方厘米．
（1）求y₁與x的函數(shù)關(guān)系，并在圖2中畫出y₁的圖象；
（2）如圖2，y₂的圖象是拋物線的一部分，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，12），求點(diǎn)P的速度及AC的長(zhǎng)；
（3）在圖2中，點(diǎn)G是x軸正半軸上一點(diǎn)0＜OG＜6，過G作EF垂直于x軸，分別交y₁、y₂的圖象于點(diǎn)E、F．
①說出線段EF的長(zhǎng)在圖1中所表示的實(shí)際意義；
②當(dāng)0＜x＜6時(shí)，求線段EF長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知了CD=3，根據(jù)Q點(diǎn)的速度可以用時(shí)間x表示出CQ的長(zhǎng)，可根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式得出y₁，x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）可先求出y₂的函數(shù)式，然后根據(jù)其頂點(diǎn)坐標(biāo)來確定k的取值．已知了P點(diǎn)走完AC用時(shí)8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于y₂，x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出k的值；
（3）EF其實(shí)就是y₂-y₁，也就是三角形PCQ和CDQ的面積差即三角形PDQ的面積．得出EF的函數(shù)關(guān)系式后，根據(jù)自變量的取值以及函數(shù)的性質(zhì)即可求出EF的最大值．

解答：解：（1）∵S_△DCQ=

1

2

•CQ•CD，CD=3，CQ=x，
∴y₁=

3

2

x（0＜x＜8）．圖象如圖所示；


（2）S_△PCQ=

1

2

•CQ•CP，CP=8k-xk，CQ=x，
∴y₂=

1

2

×（8k-kx）•x=-

1

2

kx²+4kx．
∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，12），
∴-

1

2

k•4²+4k•4=12．
解得k=

3

2

．
則點(diǎn)P的速度每秒

3

2

厘米，AC=12厘米；

（3）①觀察圖象，知線段的長(zhǎng)EF=y₂-y₁，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ面積）．
②由（2）得y₂=-

3

4

x²+6x．
∴EF=-

3

4

x²+6x-

3

2

x=-

3

4

x²+

9

2

x=-

3

4

（x²-6x+9）+

27

4

=-

3

4

（x-3）²+

27

4

，
∵二次項(xiàng)系數(shù)小于0，
∴在0＜x＜6范圍，
當(dāng)x=3時(shí)，EF=

27

4

最大．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道涉及二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形的有關(guān)知識(shí)且包含動(dòng)點(diǎn)問題的綜合題．