Question

如圖，拋物線的頂點為D，與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，且OB=2OC=3．
（1）求a，b的值；
（2）將45°角的頂點P在線段OB上滑動（不與點B重合），該角的一邊過點D，另一邊與BD交于點Q，設(shè)P（x，0），y₂=DQ，試求出y₂關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線x=m，x=m+分別與拋物線y₁交于點E，G，與y₂的函數(shù)圖象交于點F，H．問點E、F、H、G圍成四邊形的面積能否為？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OB=2，OC=，
∴拋物線y₁=ax²-2ax+b經(jīng)過B（3，0），C（0，）兩點，
∴，
∴
∴拋物線的解析式為y₁=-x²+x+．

（2）作DN⊥AB，垂足為N．（如下圖1）
由y₁=-x²+x+易得D（1，2），N（1，0），A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，DN=BN=2，DB=2，
∠DBN=45°．根據(jù)勾股定理有BD ²-BN ²=PD ²-PN ²．
∴（2）²-2²=PD²-（1-x）²①
又∵∠DPQ=45°=∠DBP，
∴△PQD∽△BPD
∴PD²=DQ×DB=y₂×2②．
由①②得y₂=x²-x+．
∵0≤x＜3，
∴y₂與x的函數(shù)關(guān)系式為y₂=x²-x+=（x-1）²+2（0≤x＜3）．
（自變量取值范圍沒寫，不扣分）

（3）假設(shè)E、F、H、G圍成四邊形的面積能為 （如圖2）
∵點E、G是拋物線y₁=-x²+x+=- （x-1）²+2（分別與直線x=m，x=m+的交點
∴點E、G坐標(biāo)為 E（m，-（m-1）²+2），G（m+，-（m-1）²+2）．
同理，點F、H坐標(biāo) 為F（m，（m-1）²+2），H（m+，-（m-）²+2）．
∴EF=-（m-1）²+2-[-（m-1）²+2]=（m-1）²
GH=（m-）²+2-[-（m-）²+2]=（m-）²．
∵四邊形EFHG是平行四邊形或梯形，
∴S=[（m-1）²+（m-）²]×=
化簡得16m²-24m+5=0
解得，m=或（都在0≤x≤3內(nèi)）
所以，當(dāng)，m=或時，E、F、H、G圍成四邊形的面積為．
分析：（1）由已知，OB=2，OC=3可得，拋物線y₁=ax²-2ax+b經(jīng)過B（3，0），C（0，）兩點，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式中的未知數(shù)的值即可確定其解析式；
（2）作DN⊥AB，垂足為N．首先根據(jù)拋物線的解析式求得D、N、A、B的坐標(biāo)然后轉(zhuǎn)化為線段的長利用勾股定理得到有關(guān)x的關(guān)系式即可確定y₂的解析式；
（3）假設(shè)E、F、H、G圍成四邊形的面積能為，從假設(shè)出發(fā)求得m的值就說明存在，否則就不存在．
點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此類題目往往是中考題的壓軸題，特別是存在型問題更是最近幾年中考題的一個熱點問題．