Question

（2013•莒南縣一模）已知，如圖二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，4）與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B（4，0），拋物線的對(duì)稱軸為x=1．直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，m），
（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)Q是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AD交BD于E，連結(jié)DQ，當(dāng)△DQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）拋物線與y軸交于點(diǎn)C，直線AD與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，當(dāng)四邊形CMNF周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求出滿足條件的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)B（4，0），拋物線的對(duì)稱軸為x=1可得關(guān)于a，b，c的方程組，解方程求得a，b，c的值，從而得到二次函數(shù)的解析式，再將點(diǎn)D（2，m）代入二次函數(shù)的解析式，得到關(guān)于m的方程，求得m的值，從而求解；
（2）先求得A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)E作EG⊥QB，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得EG=

8-2t

3

，由于S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ，配方后即可得到S_△DQE有最大值時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法得到直線AD的解析式為：y=x+2，過點(diǎn)F作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，即F′（0，-2），再連接DF′交對(duì)稱軸于M′，x軸于N′，由條件可知，點(diǎn)C，D是關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2

10

，得到四邊形CFNM的最短周長(zhǎng)為：2+2

10

時(shí)直線DF′的解析式為：y=3x-2，長(zhǎng)而得到滿足條件的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意有：

c=4 16a+4b+c=0 - b 2a =1

，
解得：a=-

1

2

，b=1，c=4．
所以，二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4，
∵點(diǎn)D（2，m）在拋物線上，即m=-

1

2

×2 ²+2+4=4，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4）

（2）令y=0，即-

1

2

x²+x+4=0，解得：x₁=4，x₂=-2
∴A，B點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0），（4，0）
過點(diǎn)E作EG⊥QB，垂足為G，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ與△BDA相似
∴

BQ

AB

=

EG

4

，即

4-t

6

=

EG

4

，
∴EG=

8-2t

3

，
∴S_△BEQ=

1

2

×（4-t）×

8-2t

3

，
∴S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ
=

1

2

×（4-t）×4-S_△BEQ
=2（4-t）-

1

3

（4-t）²
=-

1

3

t²+

2

3

t+

8

3

后
=-

1

3

（t-1）²+3，
∴當(dāng)t=1時(shí)，S_△DQE有最大值，所以此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；

（3）如圖，由A（-2，0），D（2，4），可求得直線AD的解析式為：y=x+2，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為：F（0，2），
過點(diǎn)F作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，即F′（0，-2），再連接DF′交對(duì)稱軸于M′，x軸于N′，由條件可知，點(diǎn)C，D是關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱
則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2

10

，
則四邊形CFNM的周長(zhǎng)=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C
即四邊形CFNM的最短周長(zhǎng)為：2+2

10

．
此時(shí)直線DF′的解析式為：y=3x-2，
所以存在點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（

2

3

，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（1，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．