Question

如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD上的一點，AE⊥AF，E是BC的延長線上一點，EF交AB于點G．
（1）求證：DF•FC=BG•EC；
（2）當(dāng)tan∠DAF=

1

3

時，S_△AEF=10．求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由正方形的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明△ABE≌△ADF，可得BE=DF，又△BEG∽△CEF，可得BG：CF=BE：EC，可得BE•FC=BG•EC，可得到結(jié)論；
（2）由（1）可知AE=AF，則△AEF的面積為10可得AF²=20，求得AF，又tan∠DAF=

1

3

，可得到

DF

AD

=

1

3

，結(jié)合勾股定理可求得AD．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=∠BAD=90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中

∠BAE=∠DAF AB=AD ∠ABE=∠ADF

∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF，
∵BG∥FC，
∴△BEG∽△CEF，
∴BG：CF=BE：EC，即BE•FC=BG•EC，
∴DF•FC=BG•EC；
（2）解：由（1）可知△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，且AE⊥AF，
∴S_△AEF=

1

2

AE•AF=

1

2

AF²=10，
解得AF=2

5

，
∵tan∠DAF=

DF

AD

=

1

3

，
設(shè)DF=x，則AD=3x，在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF²+AD²=AF²，
即x²+（3x）²=20，解得x=

2

或-

2

（舍去），
∴AD=3

2

，
即正方形的邊長為3

2

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中證得BE=DF是解題的關(guān)鍵，在第（2）問求出AF是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．