(2009•沈陽(yáng))將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,點(diǎn)E落在AB上,DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F.
(1)求證:AF+EF=DE;
(2)若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α,且0°<α<60°,其它條件不變,請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出變換后的圖形,并直接寫(xiě)出你在(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立;
(3)若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角β,且60°<β<180°,其它條件不變,如圖③.你認(rèn)為(1)中猜想的結(jié)論還成立嗎?若成立,寫(xiě)出證明過(guò)程;若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出AF、EF與DE之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)我們已知了三角形BED和CAB全等,那么DE=AF+CF,因此只要求出EF=CF就能得出本題所求的結(jié)論,可通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn),連接BF,那么證明三角形BEF和BCF全等就是解題的關(guān)鍵,這兩三角形中已知的條件有BE=BC,一條公共邊,根據(jù)斜邊直角邊定理,這兩個(gè)直角三角形就全等了,也就得出EF=CF,也就能證得本題的結(jié)論了;
(2)解題思路和輔助線的作法與(1)完全一樣;
(3)同(1)得CF=EF,由△ABC≌△DBE,可得AC=DE,AF=AC+FC=DE+EF.
解答:(1)證明:連接BF(如圖①),
∵△ABC≌△DBE(已知),
∴BC=BE,AC=DE.
∵∠ACB=∠DEB=90°,
∴∠BCF=∠BEF=90°.
∵BF=BF,
∴Rt△BFC≌Rt△BFE.
∴CF=EF.
又∵AF+CF=AC,
∴AF+EF=DE.

(2)解:畫(huà)出正確圖形如圖②
∴(1)中的結(jié)論AF+EF=DE仍然成立;

(3)不成立.
證明:連接BF,
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,
∵∠ACB=∠DEB=90°,
∴△BCF和△BEF是直角三角形,
在Rt△BCF和Rt△BEF中,

∴△BCF≌△BEF,
∴CF=EF;
∵△ABC≌△DBE,
∴AC=DE,
∴AF=AC+FC=DE+EF.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)得出簡(jiǎn)單的線段相等是解題的關(guān)鍵.
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