Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（4，0），以AB為直徑的半圓交y軸正半軸于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若在拋物線上有一點(diǎn)D，使四邊形BOCD為直角梯形，求直線BD的解析式；
（4）設(shè)點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸，交y軸于點(diǎn)N．若在線段AB上有且只有一點(diǎn)P，使∠MPN為直角，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知了A、B的坐標(biāo)，即可求出OA、OB的長，根據(jù)相交弦定理的推論即可求出OC的長，也就求出了C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知了三點(diǎn)的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．
（3）要使四邊形BOCD為直角梯形，那么CD∥OB，直線CD與拋物線的交點(diǎn)即為D點(diǎn)．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)．然后用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式．
（4）已知在線段AB上有且只有一點(diǎn)使∠MPN為直角，如果以MN為直徑作圓，那么P點(diǎn)必為圓和線段AB的切點(diǎn)．而MN∥x軸，因此三角形MPN是等腰直角三角形，因此M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)絕對(duì)值的2倍，然后分M在x軸上方或x軸下方兩種情況分別代入拋物線的解析式中進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；理由如下：
如圖，連接AC，CB．依相交弦定理的推論可得OC²=OA•OB，
解得OC=2．
故C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）．

（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4）．
把點(diǎn)C（0，2）的坐標(biāo)代入上式得a=-

1

2

．
∴拋物線解析式是y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（3）如圖，過點(diǎn)C作CD∥OB，交拋物線于點(diǎn)D，則四邊形BOCD為直角梯形．
由（2）知拋物線的對(duì)稱軸是x=

3

2

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）．
設(shè)過點(diǎn)B，點(diǎn)D的解析式是y=kx+b．
把點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（3，2）的坐標(biāo)代入上式得

4k+b=0 3k+b=2

解之得

k=-2 b=8

∴直線BD的解析式是y=-2x+8．

（4）解：依題意可知，以MN為直徑的半圓與線段AB相切于點(diǎn)P．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n）．
①當(dāng)點(diǎn)M在第一或第三象限時(shí)，m=2n．
把點(diǎn)M的坐標(biāo)（2n，n）代入拋物線的解析式得n²-n-1=0，
解之得n=

1± 5

2

．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1+

5

，

1+ 5

2

）或（1-

5

，

1- 5

2

）．
②當(dāng)點(diǎn)M在第二或第四象限時(shí)，m=-2n．
把點(diǎn)M的坐標(biāo)（-2n，n）代入拋物線的解析式得n²+2n-1=0，
解之得n=-1±

2

．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2-2

2

，-1+

2

）或（2+2

2

，-1-

2

）．
綜上，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1+

5

，

1+ 5

2

），（1-

5

，

1- 5

2

），
（2-2

2

，-1+

2

），（2+2

2

，-1-

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相交弦定理、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．