Question

13、已知定由“若大于3的三個(gè)質(zhì)數(shù)a、b、c滿足關(guān)系式2a+5b=c，則a+b+c是整數(shù)n的倍數(shù)”．試問(wèn)：這個(gè)定理中的整數(shù)n的最大可能值是多少？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：先將a+b+c化為3（a+2b）的形式，說(shuō)明a+b+c是3的倍數(shù)，然后利用整除的性質(zhì)對(duì)a、b被3整除后的余數(shù)加以討論，得出a+2b也為3的倍數(shù)．

解答：證明：∵a+b+c=a+b+2a+5b=3（a+2b），
顯然，3|a+b+c，
若設(shè)a、b被3整除后的余數(shù)分別為r_a、r_b，則r_a≠0，r_b≠0．
若r_a≠r_b，則r_a=2，r_b=1或r_a=1，r_b=2，
則2a+5b=2（3m+2）+5（3n+1）=3（2m+5n+3），或者2a+5b=2（3p+1）+5（3q+2）=3（2P+5q+4），
即2a+5b為合數(shù)與已知c為質(zhì)數(shù)矛盾．
∴只有r_a=r_b，則r_a=r_b=1或r_a=r_b=2．
于是a+2b必是3的倍數(shù)，從而a+b+c是9的倍數(shù)．
又2a+5b=2×11十5×5=47時(shí)，
a+b+c=11+5+47=63，
2a+5b=2×13十5×7=61時(shí)，
a+b+c=13+7+61=81，
而（63，81）=9，故9為最大可能值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)的整除性問(wèn)題．由余數(shù)切入進(jìn)行討論，是解決整除問(wèn)題的重要方法．