Question

某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，用90元購進甲種玩具的件數與用150元購進乙種玩具的件數相同．
（1）求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？
（2）商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數少于乙種玩具的件數，商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，商場有哪幾種進貨方案？
（3）商場決定甲種玩具的售價為20元，乙種玩具售價為35元，試問該商場在（2）的條件下如何進貨利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）設甲種玩具進價x元/件，則乙種玩具進價為（40-x）元/件，
=
x=15，
經檢驗x=15是原方程的解．
∴40-x=25．
甲，乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；

（2）設購進甲種玩具y件，則購進乙種玩具（48-y）件，

解得20≤y＜24．
∵y是整數，甲種玩具的件數少于乙種玩具的件數，
∴y取20，21，22，23，
即：甲玩具20件，乙玩具28件；
甲玩具21件，乙玩具27件；
甲玩具22件，乙玩具26件；
甲玩具23件，乙玩具25件；
共有4種方案．

（3）解：設購進甲種玩具y件，總利潤為z元，則購進乙種玩具（48-y）件，
根據題意得：z=（20-15）y+（35-25）（48-y）=-5y+480
∵比例系數k=-5＜0，
∴z隨著y的增大而減小，
∴當y=20時有最大利潤z=-5×20+480=380元．
分析：（1）設甲種玩具進價x元/件，則乙種玩具進價為（40-x）元/件，根據已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，用90元購進甲種玩具的件數與用150元購進乙種玩具的件數相同可列方程求解．
（2）設購進甲種玩具y件，則購進乙種玩具（48-y）件，根據甲種玩具的件數少于乙種玩具的件數，商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，可列出不等式組求解．
（3）列出有關總利潤和進貨量的一次函數關系后再第（2）題求得的范圍內求最大值即可．
點評：本題考查理解題意的能力，第一問以件數做為等量關系列方程求解，第2問以玩具件數和錢數做為不等量關系列不等式組求解，第三問則根據題意列出一次函數求解．