Question

如圖，拋物線y=﹣x²+x﹣2交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，分別過點B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點D，將△BDC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF．

（1）求點B，C所在直線的函數(shù)解析式；

（2）求△BCF的面積；

（3）在線段BC上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當y=0時，﹣x²+x﹣2=0，

解得x₁=2，x₂=4，

∴點A，B的坐標分別為（2，0），（4，0），

當x=0時，y=﹣2，

∴C點的坐標分別為（0，﹣2），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，

解得．

∴直線BC的解析式為y=x﹣3；

 

（2）∵CD∥x軸，BD∥y軸，

∴∠ECD=90°，

∵點B，C的坐標分別為（4，0），（0，﹣2），

∴BC===2，

∵△FEC是由△BDC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

∴△BCF的面積=BC•FC=×2×2=10；

 

（3）存在．

分兩種情況討論：

①過A作AP₁⊥x軸交線段BC于點P₁，則△BAP₁∽△BOC，

∵點A的坐標為（2，0），

∴點P₁的橫坐標是2，

∵點P₁在點BC所在直線上，

∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1，

∴點P₁的坐標為（2，﹣1）；

②過A作AP₂⊥BC，垂足點P₂，過點P₂作P₂Q⊥x軸于點Q．

∴△BAP₂∽△BCO，

∴=，=

∴=，

解得AP₂=，

∵=，

∴AP₂•BP=CO•BP₂，

∴×4=2BP₂，

解得BP₂=，

∵AB•QP₂=AP₂•BP₂，

∴2QP₂=×，

解得QP₂=，

∴點P₂的縱坐標是﹣，

∵點P₂在BC所在直線上，

∴x=

∴點P₂的坐標為（，﹣），

∴滿足條件的P點坐標為（2，﹣1）或（，﹣）．