Question

如圖，拋物線y=﹣x²+x﹣2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將△BDC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF．

（1）求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；

（2）求△BCF的面積；

（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)y=0時，﹣x²+x﹣2=0，

解得x₁=2，x₂=4，

∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（4，0），

當(dāng)x=0時，y=﹣2，

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，﹣2），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，

解得．

∴直線BC的解析式為y=x﹣3；

 

（2）∵CD∥x軸，BD∥y軸，

∴∠ECD=90°，

∵點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，﹣2），

∴BC===2，

∵△FEC是由△BDC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

∴△BCF的面積=BC•FC=×2×2=10；

 

（3）存在．

分兩種情況討論：

①過A作AP₁⊥x軸交線段BC于點(diǎn)P₁，則△BAP₁∽△BOC，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），

∴點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)是2，

∵點(diǎn)P₁在點(diǎn)BC所在直線上，

∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1，

∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（2，﹣1）；

②過A作AP₂⊥BC，垂足點(diǎn)P₂，過點(diǎn)P₂作P₂Q⊥x軸于點(diǎn)Q．

∴△BAP₂∽△BCO，

∴=，=

∴=，

解得AP₂=，

∵=，

∴AP₂•BP=CO•BP₂，

∴×4=2BP₂，

解得BP₂=，

∵AB•QP₂=AP₂•BP₂，

∴2QP₂=×，

解得QP₂=，

∴點(diǎn)P₂的縱坐標(biāo)是﹣，

∵點(diǎn)P₂在BC所在直線上，

∴x=

∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（，﹣），

∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）或（，﹣）．