【題目】在ABCD中,∠BAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC的延長線于點F,以EC、CF為鄰邊作ECFG.
(1)如圖1,證明ECFG為菱形;
(2)如圖2,若∠ABC=120°,連接BG、CG,并求出∠BDG的度數(shù):
(3)如圖3,若∠ABC=90°,AB=6,AD=8,M是EF的中點,求DM的長.
【答案】(1)見解析;(2)∠BDG=60°;(3)DM=5
【解析】
(1)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC,AB∥CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠CEF=∠CFE,根據(jù)等角對等邊可得CE=CF,再有條件四邊形ECFG是平行四邊形,可得四邊形ECFG為菱形,即可解決問題;
(2)先判斷出∠BEG=120°=∠DCG,再判斷出AB=BE,進而得出BE=CD,即可判斷出△BEG≌△DCG(SAS),再判斷出∠CGE=60°,進而得出△BDG是等邊三角形,即可得出結(jié)論;
(3)連接BM,MC,結(jié)合題意,根據(jù)矩形的判定得到四邊形ABCD和四邊形ECFG為正方形.因為∠BAF=∠DAF,則BE=AB=DC,因為M為EF中點,所以∠CEM=∠ECM=45°,故∠BEM=∠DCM=135°,根據(jù)全等三角形的判定(SAS)得到△BME≌△DMC,則由全等三角形的性質(zhì)可得MB=MD,∠DMC=∠BME.結(jié)合題意得到等腰直角三角形.根據(jù)勾股定理得到BD=10,故DM=5.
(1)證明:
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
又∵四邊形ECFG是平行四邊形,
∴四邊形ECFG為菱形;
(2)結(jié)論:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC,
∵∠ABC=120°,
∴∠BCD=60°,∠BCF=120°
由(1)知,四邊形CEGF是菱形,
∴CE=GE,∠BCG=∠BCF=60°,
∴CG=GE=CE,∠DCG=120°,
∵EG∥DF,
∴∠BEG=120°=∠DCG,
∵AE是∠BAD的平分線,
∴∠DAE=∠BAE,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=CD,
∴△BEG≌△DCG(SAS),
∴BG=DG,∠BGE=∠DGC,
∴∠BGD=∠CGE,
∵CG=GE=CE,
∴△CEG是等邊三角形,
∴∠CGE=60°,
∴∠BGD=60°,
∵BG=DG,
∴△BDG是等邊三角形,
∴∠BDG=60°;
(3)如圖2中,連接BM,MC,
∵∠ABC=90°,四邊形ABCD是平行四邊形,
∴四邊形ABCD是矩形,
又由(1)可知四邊形ECFG為菱形,
∠ECF=90°,
∴四邊形ECFG為正方形.
∵∠BAF=∠DAF,
∴BE=AB=DC,
∵M為EF中點,
∴∠CEM=∠ECM=45°,
∴∠BEM=∠DCM=135°,
在△BME和△DMC中,
∵BE=CD,∠BEM=∠DCM,EM=CM,
∴△BME≌△DMC(SAS),
∴MB=MD,
∠DMC=∠BME.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形.
∵AB=6,AD=8,則BD==10,∴DM=5.
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【題目】△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示,其中每個小正方形的邊長為1個單位長度.
(1)將△ABC向右移平2個單位長度,作出平移后的△A1B1C1,并寫出△A1B1C1各頂點的坐標;
(2)若將△ABC繞點(-1,0)順時針旋轉(zhuǎn)180°后得到△A2B2C2,并寫出△A2B2C2各頂點的坐標;
(3)求出三角形ABC的面積
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【題目】如圖,△ABC是直角三角形,延長AB到點E,使BE=BC,在BC上取一點F,使BF=AB,連接EF.△ABC旋轉(zhuǎn)后能與△FBE重合,請回答:
(1)旋轉(zhuǎn)中心是點____,
(2)旋轉(zhuǎn)了____度,
(3) AC與EF的關(guān)系為_________.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm.點P從點D出發(fā)向點A運動,運動到點A即停止;同時,點Q從點B出發(fā)向點C運動,運動到點C即停止,點P、Q的速度都是1cm/s.連接PQ、AQ、CP.設(shè)點P、Q運動的時間為ts.
當t為何值時,四邊形ABQP是矩形;
當t為何值時,四邊形AQCP是菱形;
分別求出(2)中菱形AQCP的周長和面積.
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【題目】已知反比例函數(shù)(k為常數(shù),k≠0)的圖象經(jīng)過點A(2,3).
(1)求這個函數(shù)的解析式;
(2)判斷點B(-1,6),C(3,2)是否在這個函數(shù)的圖象上,并說明理由;
(3)當-3<x<-1時,求y的取值范圍.
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【題目】某商場購進一批日用品,若按每件5元的價格銷售,每月能賣出3萬件;若按每件6元的價格銷售,每月能賣出2萬件,假定每月銷售件數(shù)(件)與價格(元/件)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.
(1)試求:y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)這批日用品購進時進價為4元,則當銷售價格定為多少時,才能使每月的潤最大?每月的最大利潤是多少?
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【題目】如圖,直線AB和CD相交于點O,OE把∠AOC分成兩部分,且∠AOE∶∠EOC=2∶5
(1)如圖,若∠BOD=70°,求∠BOE
(2)如圖,若OF平分∠BOE,∠BOF=∠AOC+10°,求∠EOF
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【題目】如圖,ABCD的對角線AC,BD交于點O,AE平分∠BAD交BC于點E,且∠ADC=60°,AB=BC,連結(jié)OE.下列結(jié)論:
①∠CAD=30°;②SABCD=AB·AC;③OB=AB;④OE=BC,成立的結(jié)論有______.(填序號)
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