Question

已知關(guān)于x的一元二次方程mx²+（m-1）x+n=0．
（1）若6m+n=2，求證：此方程有一個(gè)根為2；
（2）在（1）的條件下，二次函數(shù)y=mx²+（m-1）x+n 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），求代數(shù)式的值；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

解：∵方程mx²+（m-1）x+n=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m≠0．
（1）∵6m+n=2，∴n=2-6m．
∵△=（m-1）²-4mn=m²-2m+1-4mn
=m²-2m+1-4m（2-6m）
=25m²-10m+1
=（5m-1）²．
由求根公式，得x=，
∴x₁=2，x₂=．
故若6m+n=2，此方程有一個(gè)根為2；

（2）∵二次函數(shù)y=mx²+（m-1）x+n 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），（2，0），
∴，
解得．
∴=[-]•
=•
=
=
=；

（3）∵＜n＜0，即m＜0，n＜0，
∴n＞，-4mn＞-m²，
∴△=（m-1）²-4mn＞m²-2m+1-m²=1-2m＞0，
∴此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
分析：（1）先將6m+n=2變形為n=2-6m，再將n=2-6m代入一元二次方程mx²+（m-1）x+n=0的根的判別式中，求出△=（5m-1）²，然后代入求根公式即可；
（2）在（1）的條件下，即二次函數(shù)y=mx²+（m-1）x+n 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0），將點(diǎn)（1，2），（2，0）代入y=mx²+（m-1）x+n，得到關(guān)于m、n的二元一次方程組，求出m、n的值，再代入化簡(jiǎn)后的式子中，計(jì)算即可；
（3）由＜n＜0，得出-4mn＞-m²，代入一元二次方程mx²+（m-1）x+n=0的根的判別式中，求出△1-2m＞0，即可證明此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△與方程根的關(guān)系，分式的化簡(jiǎn)求值，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，有一定難度．