Question

在矩形ABCD中，DC=2

3

，F(xiàn)為AD的中點，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF．
（1）求證：△DEC∽△FDC；
（2）求sin∠FBD的值；
（3）求BC的長度．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由在矩形ABCD中，CF⊥BD，可得∠DEC=∠FDC=90°，又由∠DCE=∠FCD，即可證得△DEC∽△FDC；
（2）由F為AD的中點，在矩形ABCD中，AD∥BC，可得△DFE∽△BCE，即可求得FE：FC=1：3，易證得△ABF≌△DCF（SAS），可得FB=FC，繼而求得答案；
（3）首先設(shè)EF=x，則FC=3x，由△DEC∽△FDC，即可求得x的值，繼而求得答案．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，∠FDC=90°，CF⊥BD，
∴∠DEC=∠FDC=90°，
∵∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC；

（2）解：∵F為AD的中點，在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴△DFE∽△BCE，
∴FE：EC=FD：BC=FD：AD=1：2，
∴FE：FC=1：3，
在△ABF和△DC中，

AF=FD ∠A=∠FDC=90° AB=DC

，
∴△ABF≌△DCF（SAS），
∴FB=FC，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=

1

3

；

（3）解：設(shè)EF=x，則FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴

CE

CD

=

CD

FC

，
即可得：6x²=12，
解得：x=±

2

（負值舍去），
則CF=3

2

，
在Rt△CFD中，DF=

FC2-CD2

=

6

，
在矩形ABCD中，BC=AD=2DF=2

6

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．