Question

已知拋物線的頂點為P，與軸交于點A，與直線OP交于點B.

（Ⅰ）如圖1，若點P的橫坐標(biāo)為1，點B的坐標(biāo)為（3，6），試確定拋物線的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若點M是直線AB下方拋物線上的一點，且，求點M的坐標(biāo)；

（Ⅲ）如圖2，若點P在第一象限，且PA=PO，過點P作PD⊥軸于點D.將拋物線平移，平移后的拋物線經(jīng)過點A、D，該拋物線與軸的另一個交點為C，請?zhí)骄克倪呅蜲ABC的形狀，并說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）依題意, , 解得b=-2.

          將b=-2及點B(3, 6)的坐標(biāo)代入拋物線解析式得

          .

          解得 c=3.

          所以拋物線的解析式為.  

   （Ⅱ）∵拋物線 與y軸交于點A，

∴ A(0, 3).

∵ B(3, 6),

可得直線AB的解析式為.                 

設(shè)直線AB下方拋物線上的點M坐標(biāo)為（x，），過M點作y軸的平行線交直線AB于點N, 則N(x, x+3).

           

           ∴ .

           ∴.

           解得 .                                          

           ∴點M的坐標(biāo)為(1, 2) 或 (2, 3).                      

（Ⅲ）如圖，由 PA=PO, OA=c, 可得.

∵拋物線的頂點坐標(biāo)為 ,          

    ∴ .

          ∴ .              

∴ 拋物線,  A（0，），P（，）, D（,0）.

          可得直線OP的解析式為.     

          ∵ 點B是拋物線

與直線的圖象的交點，

          令 .

          解得.                  

          可得點B的坐標(biāo)為（-b，）. 

          由平移后的拋物線經(jīng)過點A, 可設(shè)平移后的拋物線解析式為.

          將點D(，0)的坐標(biāo)代入，得.

          ∴ 平移后的拋物線解析式為. 

           令y=0, 即.

           解得.

           依題意, 點C的坐標(biāo)為（-b，0）.    

           ∴ BC=.

           ∴ BC= OA.

又BC∥OA，

∴ 四邊形OABC是平行四邊形.

           ∵ ∠AOC=90°，

           ∴ 四邊形OABC是矩形.      

【解析】（I）利用頂點P的橫坐標(biāo)求出b=-2,然后把b=-2和B點的坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式；

（II）先求出A點坐標(biāo)，然后得出直線AB的解析式，設(shè)M點坐標(biāo)為（x，），根據(jù)列出方程，并解方程，從而得出M點坐標(biāo)；

（III）根據(jù)拋物線的圖象可求出A、P、D的坐標(biāo)，利用拋物線與直線相交求出B點坐標(biāo)，然后求出平移后拋物線的解析式，然后求出C點坐標(biāo)，然后求出BC的長度，從而得出四邊形OABC是平行四邊形，再根據(jù)∠AOC=90°得出四邊形OABC是矩形。