Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若，AC=8，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意連結(jié)OD，利用切線的判定定理證明∠ODE=90°即可；

（2）根據(jù)題意連結(jié)AD，利用余弦值求得CD，進(jìn)而利用勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)求得DE的長(zhǎng)．

解：（1）證明：如圖，連結(jié)OD．

∵OC=OD，AB=AC，

∴∠1=∠C，∠C=∠B，

∴∠1=∠B．

∵DE⊥AB，

∴∠2+∠B=90°，∠2+∠1=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE為⊙O的切線．

（2）連結(jié)AD，如上圖．

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°．

，

∴CD=6．

∵AB=AC，

∴BD=CD=6．

由勾股定理得AD=，

∵∠C=∠B，∠DEB=∠ADC=90°，

∴△BDE∽△CAD

.